彼得-外尔定理

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彼得-外尔定理(Peter-Weyl theorem)经典三角多项式可一致逼近连续函数的定理在紧李群上的一种推广.在经典的傅里叶级数理论中,一个熟知的结果是,任一以2二为周期的连续函数可用三角多项式来一致逼近.这一经典结果在紧李群上的推广,即是著名的彼得一外尔定理.设G是一个紧李群,则G的不可约表示必是有限维的,且G的有限维表示必等价于一个酉表示.所以,在表示空间中取一组适当的规范正交基时,G的不可约表示将G的元映成酉矩阵.
设{Uxl BEG}是紧李群G的不可约酉表示完全组,则Ux(二)的每个矩阵系数定义了G上的实解析函数.相应于Lz<G)的内积,Ux(二)的不同矩阵系数彼此正交;当凡}}zE‘且久l笋}z时,Ux(二)与Ux2 (x)的不同矩阵系数也彼此正交.这时彼得一外尔定理可叙述为:紧李群G的不可约酉表示完全组{Ux}}EG}的矩阵系数全体是LZ <G)的完备正交函数系,G上的任一连续函数可用该正交系中函数的有限线性组合来一致逼近.
上述紧李群G的完备正交函数系在紧李群上调和分析中的地位,等同于{e"`} } n - 0,士1 } ...}在经典傅里叶分析中的地位.
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参考资料
  • 1.    数学辞海(第三卷)